Mathematical Habits of Mind

"จิตนิสัยทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Habits of Mind) เป็นความเข้าใจคณิตศาสตร์ในรูปแบบที่คณิตศาสตร์เป็น จึงเปรียบเสมือนสะพานเชื่อมโยงความคิดและมุมมองระหว่างผู้ใช้และผู้เรียนคณิตศาสตร์กับผู้วิจัยคณิตศาสตร์ (นักคณิตศาสตร์ จิตนิสัยทางคณิตศาสตร์จึงเป็นสิ่งที่ทั้งนักวิชาการด้านคณิตศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ให้ความสนใจที่จะใช้เป็นเครื่องมือสำหรับพัฒนาให้ผู้เรียนมีวิธีการคิดเยี่ยงนักคณิตศาสตร์ (think about mathematics the way mathematicians do)"

        หลายคนอาจมองว่าคณิตศาสตร์เป็นเพียงศาสตร์แห่งการคิดคำนวณที่เกี่ยวกับตัวเลข แต่นั่นไม่ใช่ความจริงทั้งหมด เพราะคณิตศาสตร์อื่น ๆ อีกหลายสาขายังมีเนื้อหาที่ไม่ได้มุ่งเน้นการคำนวณเป็นสำคัญ เช่น ตรรกศาสตร์การพิสูจน์ ทฤษฎีกราฟ ฯลฯ ดังนั้นถ้าจะกล่าวให้ได้ความครอบคลุมผู้เขียนอยากจะใช้คำว่า "คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เกี่ยวกับระบบวิธีคิด" การเรียนคณิตศาสตร์จึงไม่ควรมุ่งเน้นแค่การเร่งรัดนำนักเรียนไปให้ถึงคำตอบด้วยวิธีการสำเร็จรูป แต่ควรเปิดโอกาสให้ผู้เรียนได้ฝึกคิดใช้การเชื่อมโยงตรรกะ และกลยุทธ์การแก้ปัญหา (logical and heuristic connections) ระหว่างองค์ความรู้แต่ละเรื่อง เพื่อสร้างสิ่งที่มีคุณค่ายิ่งกว่าคำตอบ และนี่คือสิ่งที่เรียกว่า "จิตนิสัยทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Habits of Mind)"

จิตนิสัยทางคณิตศาสตร์คืออะไร

        จิตนิสัยทางคณิตศาสตร์ เป็นคำที่ถูกนำมาใช้เป็นครั้งแรกโดย Cuoco, Goldenberg, and Mark (1996) ซึ่งได้เสนอว่า จิตนิสัยทางคณิตศาสตร์เป็นหลักการสำคัญของการจัดหลักสูตรคณิตศาสตร์ เพื่อให้นักเรียนระดับมัธยมศึกษาและวิทยาลัยได้ทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ด้วยวิธีการคิดแบบนักคณิตศาสตร์จึงเป็นส่วนที่เติมเต็มช่องว่างระหว่างผู้สร้างกับผู้ใช้คณิตศาสตร์ แม้ปัจจุบันวงการอาจยังไม่มีนิยามที่ชัดเจนตายตัว แต่ Lim and Selden (2009) ได้อธิบายความหมายของจิตนิสัยทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายๆ โดยใช้คำสำคัญ 2 คำ คือ "การคิด (thinking)" และ "ความเคยชินเป็นนิสัย (habituated)" ซึ่งเราสามารถปลูกฝังสมบัติสองสิ่งนี้แก่ผู้เรียนได้โดยอัตโนมัติ ขณะฝึกหัดโดยใช้โจทย์ปัญหาในชั้นเรียน เพียงแต่ครูต้องตั้งคำถามหรือจัดหาปัญหาที่เหมาะสมมาให้ผู้เรียนทำเพื่อกระตุ้นการคิด (Seeley. 2014)

        Harel (2008) ได้ให้ทรรศนะเกี่ยวกับจิตนิสัยในมุมมองเป็นวิธีคิดว่าคณิตศาสตร์ประกอบด้วย 2 สับเซต คือ 1 วิธีทำความเข้าใจได้แก่ นิยาม สัจพจน์ ทฤษฎีบท ข้อพิสูจน์ปัญหา และการหาคำตอบ และ 2) วิธีคิด (ways of thinking) เป็นเครื่องมือทางความคิดที่มีประโยชน์ต่อการสร้างสับเซตแรกและสิ่งที่ทำให้วิธีคิดแตกต่างจากเครื่องมือทำความเข้าใจก็คือ จิตนิสัยทางคณิตศาสตร์ ทั้งสองความหมายนี้ไม่สามารถจะแยกกันพัฒนาได้

        ขณะที่ Mason and Spence (1999) มีความเห็นว่าลักษณะที่เป็นความเคยชินจะต้องเป็นนิสัยที่รู้และปฏิบัติได้ทันที โดยแบ่งความรู้ออกเป็น 2 ประเภทคือ 1) รู้เนื้อหา (knowing-about) ประกอบด้วย การรู้ข้อเท็จจริง รู้กระบวนการและรู้เหตุผลเบื้องลึก และ 2) รู้จักใช้ (knowing-to) เป็นความรู้ฝั่งแน่นที่สามารถแสดงได้ตามบริบทหรือสถานการณ์ในทันทีที่ต้องการ ซึ่งความรู้ประเภทหลังนี้เป็นสิ่งที่มีความจำเป็นยิ่งกว่า

        นอกจากนี้ Costa and Kallick (2000) ได้อธิบายความหมายของคำว่า "จิตนิสัย" ว่าเป็นผลอันเกิดจากการคิดวิเคราะห์เพื่อแก้ปัญหาในสถานการณ์จริง และเกิดการเรียนรู้ที่จะนำไปสู่ผลลัพธ์หรือวิธีการแก้ปัญหาที่ดีกว่า ซึ่งหากนำมาพิจารณาร่วมกันแล้วอาจพอสรุปความหมายได้ว่า จิตนิสัยทางคณิตศาสตร์  เป็นการมองเห็นความสัมพันธ์ระหว่างเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ และสามารถคิดเชื่อมโยงนำโครงสร้างความรู้ที่มีอยู่มาจัดการกับสถานการณ์หรือปัญหาที่พบเพื่อหาคำตอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ โดยสามารถนำไปปฏิบัติได้อย่างสม่ำเสมอจนเกิดเป็นนิสัย

จิตนิสัยทางคณิตศาสตร์นั่นมีความสำคัญอย่างไร

        Tall ได้กล่าวถึงตัวอย่างความทรงพลังของการมีจิตนิสัยทางคณิตศาสตร์ไว้ดังนี้

        เด็กคนหนึ่งหาคำตอบของ 8+6 ด้วยการเปลี่ยนให้อยู่ในรูป 8+2+ 4 = 10+4 โดยแยก 6 เป็น 2+4 เพื่อที่จะได้นำ 2 ไปรวมกับ 8 ให้ครบ 10 แล้วเพิ่ม 4 เป็น 14

        หรือกรณีการอภิปรายเรื่องขั้นตอนการหารด้วย 7 เด็กคนหนึ่งอาจไม่ได้คิดถึงขั้นตอนการหาร แต่กลับนึกไปถึงจำนวนที่เกี่ยวข้องกัน เช่นเมื่อเพื่อนถามเขาว่า 121 หารด้วย 7 ลงตัวหรือไม่ เขาตอบได้ทันทีว่า "ไม่" เพราะ 121 คือ 112 นั่นคือสิ่งที่เกิดขึ้นในห้วงความคิดของเขาไม่เพียงแต่เป็นการจะแยกตัวประกอบเท่านั้น หากมองลึกลงไปถึงการแยกเป็นตัวประกอบที่ซ้ำจำนวนเดียวกันด้วย สำหรับการหาร 131 ด้วย 7 เขาได้ตอบว่า "หารไม่ลงตัว" เพราะ 131 คือ 140หักออกเสีย 9 แต่เขาจนมุมที่จำนวน 119 ซึ่งเขาไม่สามารถคิดด้วยวิธีอื่นใดได้นอกจากคิดตามขั้นตอนการหารด้วย 7 ตามปกติจะได้ผลลัพธ์เป็น 17 อย่างไรก็ตาม จิตคณิตศาสตร์ของเขาก็ยังไม่ยอมหยุดอยู่แค่นั้น เขายังมองเห็นความสัมพันธ์ใหม่ว่า 17 X 7 คือ 10X 7 รวมกับ 7X7 ซึ่งเท่ากับ 70+ 49 = 119 หรือมันคือ 20 คูณ 7 แล้วหักออกด้วย 3 คูณ 7 ซึ่งเท่ากับ 140 - 21 = 119 วิธีคิดเหล่านี้ทำให้เขารู้สึกมีความสุขได้อีกคำรบหนึ่ง เพราะจิตคณิตศาสตร์ของเขาได้เพิ่มแบบรูปของความสัมพันธ์ใหม่ โดยใช้มโนทัศน์ที่เขาได้พัฒนาขึ้นมาเองสำหรับเลขจำนวน 7

        กระบวนการคิดเชิงจำนวนข้างต้นมีความซับซ้อนกว่าขั้นตอนการหาคำตอบธรรมดา เพราะมันสะท้อนให้เห็นการมีโครงสร้างความรู้ที่สอดคล้องกับโครงสร้างทางสมองในเรื่องความรู้สะสมและการเชื่อมโยงภายในโครงสร้างเหล่านั้น ตลอดจนวิธีการจัดการกับปัญหาต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน โดยมุ่งไปสนใจสิ่งที่ต้องการได้

คุณลักษณะแบบใดที่เรียกว่ามีจิตนิสัยทางคณิตศาสตร์

        Cuoco, Goldenberg, and Mark (1996) ได้เสนอลักษณะเฉพาะของผู้ที่มีจิตนิสัยทางคณิตศาสตร์ไว้ 9 ประการ ได้แก่

สามารถเข้าใจกรณีทั่วไปได้โดยใช้กรณีตัวอย่างหลายกรณี โดยการนำหลักการใหญ่ที่มักเป็นนามธรรมเพื่อให้เห็นภาพและเข้าใจด้วยตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม คิดพิจารณาจากจุดเล็ก ๆ เพื่อนำไปสู่หลักการที่ยิ่งใหญ่ มีบ่อยครั้งที่ความรู้ทางคณิตศาสตร์ได้แตกสาขาการพัฒนาขึ้นมาใหม่จากการพยายามจะแก้ปัญหาธรรมดา ๆ ตัวอย่างเช่น จงหาผลคูณของจำนวนที่เกิดจากผลรวมของจำนวนกำลังสอง (square number) ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมของจำนวนกำลังสองที่แตกต่างจากจำนวนเดิม เช่น 13 = 32 + 22 และ 5 = 22 + 12 (ทั้ง 13 และ 5 ต่างเกิดจากผลบวกของจำนวนกำลังสอง) จะได้ว่า 65 = 13 X 5 = 16 + 49 = 42 + 72

        แสดงว่า 65 ซึ่งเกิดจาก 13 คูณกับ 5 ก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของจำนวนกำลังสองได้ด้วยการที่เป็นเช่นนี้ก็เพราะหลักการทางเลขคณิตของจำนวนเต็มเกาส์ (Gaussian integers) ที่แสดงให้เห็นว่า

        (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 เมื่อ i คือรากที่สองของ -1 ดังนั้น จากจำนวนเต็ม 13 และ 5 เราสามารถเขียนได้ว่า

                       13 = (3 + 2i)(3 – 2i) และ 5 = (2 + i)(2 - i)
         จึงได้ว่า   13 X 5   = (3 + 2i)(3 - 2i) X (2 + i) (2 - i)
                                 = (3 + 2i) (2 + i) X (3 - 2i) (2 - i)
                                 = (4 +7i) X (4 -7i)
                                 = 16 + 49

        การที่จะสร้างและประยุกต์ทฤษฎีและตัวอย่างเหล่านี้ได้ ผู้เรียนจำเป็นต้องอาศัยการตกตะกอนจากประสบการณ์ที่หลากหลาย จากการสังเกต เชื่อมโยง และทดลองเล่นสนุกกับเลขคณิตทั้งที่เป็นจำนวนเต็มสามัญ (ordinary integers) และจำนวนเชิงซ้อน (complex numbers) รวมถึงเห็นความคล้ายคลึงของสถานการณ์ที่ต่างกัน แต่ความสามารถเหล่านี้ใช่ว่าเด็กทุกคนจะคิดและทำได้เอง เขาจำเป็นต้องได้รับความช่วยเหลือในการเริ่มต้น

รู้จักใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ เพราะความรู้คณิตศาสตร์ที่ค้นพบวันนี้จะกลายเป็นเครื่องมือสำหรับการค้นคว้าต่อไปในอนาคต เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญได้แก่ ขั้นตอนวิธี (Algorithms) การแปรตาม (Dependences) และการส่ง (Mappings) ใช้มุมมองที่หลากหลาย (use multiple points of view) เช่น ในการศึกษาระบบจำนวนเชิงซ้อน จำเป็นต้องอาศัยทั้งมุมมองแบบพีชคณิต (ความรู้เกี่ยวกับสมการ)การวิเคราะห์ (ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน) และเรขาคณิต(รูปหลายเหลี่ยมปกติ) ประกอบกัน ผสมผสานระหว่างวิธีการนิรนัยกับการทดลอง(mix deduction and experiment) การพิสูจน์ด้วยวิธีนิรนัย (deductive proof) ยังเป็นเรื่องที่นักคณิตศาสตร์ศึกษาถกเถียงกันอยู่ว่ามีความจำเป็นหรือไม่ สำหรับการเรียนในโรงเรียนหรือเพิ่มเข้าไปเพียงเพื่อให้เนื้อหาน่าเชื่อถือยิ่งขึ้น เพราะแม้นักคณิตศาสตร์หลายคนจะเชื่อว่าองค์ความรู้คณิตศาสตร์เกิดจากการพิสูจน์และทุกอย่างที่เป็นจริงจะต้องสามารถพิสูจน์ได้ แต่บางครั้งองค์ความรู้ก็สามารถเกิดได้จากการทดลองโดยการสังเกตเห็นบางสิ่งบางอย่าง แล้วมีความสงสัยจนนำมาซึ่งการสรุปเป็นคำอธิบายได้ แต่อย่างน้อยการพิสูจน์และการสร้างคำอธิบายก็สามารถช่วยให้เกิดกระบวนการสืบเสาะหาความรู้ได้ 2 แนวทางคือ 1) ใช้วิธีการพิสูจน์ช่วยยืนยันผลลัพธ์ และ 2) ใช้การพิสูจน์เป็นเครื่องมือในการสร้างทฤษฎีบทใหม่ ส่งเสริมการใช้ภาษา (push the language) เพื่อสร้างคำอธิบาย เช่น นิยามการมีอยู่ของจำนวน 20 ซึ่งในบางครั้งการพบข้อขัดแย้งก็อาจสามารถนำมาซึ่งการสร้างทฤษฎีบทใหม่ ๆ ได้ ร่วมกันใช้ปัญญาครุ่นคิด (use intellectual chants) ทั้งแบบร่างลงบนกระดาษและคิดในใจ ซึ่งครูสามารถส่งเสริมได้โดยใช้การสัมภาษณ์นักเรียนคนที่แก้ปัญหาได้สำเร็จโดยอาจขอให้อธิบายและเขียนวิธีการที่ใช้แก้ปัญหา ใช้วิธีการทางเรขาคณิตในการแก้ปัญหา (geometric approaches to things) ความคิดแนวเรขาคณิตได้มีบทบาทสำคัญต่อคณิตศาสตร์ทุกสาขามาโดยตลอดมุมมองเชิงเรขาคณิตจะช่วยสร้างความเข้าใจที่ถูกต้องในการค้นพบใหม่ ๆ อาทิใช้ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน (complex analysis) ใช้วิธีการทางพีชคณิตในการแก้ปัญหา (algebraic approaches to things) อาทิ ใช้เป็นเครื่องมือคำนวณที่ดี ใช้แปลงให้อยู่ในสภาพนามธรรม ใช้เป็นขั้นตอนวิธี (use algorithms) ใช้แบ่งเป็นส่วนย่อยใช้ขยาย และใช้เป็นตัวแทน จะปลูกฝังอย่างไรให้ผู้เรียนมีจิตคณิตศาสตร์

        Cuoco, Goldenberg, and Mark (1996) ได้เสนอแนะแนวทางการสร้างจิตนิสัยทางคณิตศาสตร์ว่าผู้เรียนควรได้รับการพัฒนาและส่งเสริม โดยสอดแทรกสิ่งต่อไปนี้ลงไปในบริบทหรือสถานการณ์ที่เหมาะสม

ผู้เรียนควรได้ฝึกการเป็นผู้ค้นพบแบบแผน จะช่วยให้ผู้เรียนเกิดความภาคภูมิใจจากการได้ค้นพบ ผู้เรียนควรได้ฝึกเป็นนักทดลอง โดยการกระตุ้นให้มีความสงสัยใคร่รู้ ผู้เรียนควรได้ฝึกเป็นนักอธิบายสื่อสาร ทั้งด้วยวิธีเขียนและอธิบายปากเปล่า ผู้เรียนควรเป็นเหมือนช่างบัดกรี ที่สามารถเชื่อมผสานแนวคิดต่าง ๆ ให้เข้ากันได้ด้วยดี ผู้เรียนควรได้ฝึกเป็นนักประดิษฐ์ ซึ่งอาจฝึกได้ทั้งแบบมีวัตถุประสงค์ที่มุ่งเน้นประโยชน์ หรือเพื่อความสนุกสนานด้วยวิธีเล่นเกม ขั้นตอนวิธีการอธิบายการทำงาน หรือแม้แต่สัจพจน์ที่ใช้ในโครงสร้างเชิงคณิตศาสตร์ ผู้เรียนควรฝึกเป็นนักวาดภาพ โดยการแปลงข้อความปัญหาออกมาเป็นภาพจำลองจะช่วยให้ผู้เรียนมีแนวคิดหรือเห็นแนวทางวิธีจัดการกับปัญหาได้ เช่น การใช้แผนภาพแสดงพื้นที่อธิบายความคิดรวบยอดเกี่ยวกับผลคูณทวินาม (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ดังรูป math mind01

จากรูปแสดงให้เห็นว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่ที่มีความยาวด้าน a+b หน่วย จะมีพื้นที่เท่ากับ (a+b)2 ตารางหน่วย ซึ่งเกิดจากผลรวมของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมย่อยทั้ง 4 รูป จึงสรุปได้ว่า (a+ b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 นั่นเอง

ผู้เรียนควรฝึกเป็นนักคาดการณ์ การคาดการณ์ได้อย่างน่าเชื่อถืออาจจำเป็นต้องใช้เวลานานแต่ถือเป็นหัวใจสำคัญของการเรียนคณิตศาสตร์อย่างน้อยที่สุดผู้เรียนควรสามารถสร้างข้อความคาดการณ์จากข้อมูลที่มีอยู่ได้ (เช่น มองเห็นแบบรูปของจำนวน) เพราะข้อความคาดการณ์ที่สร้างขึ้นถ้าดีควรจะไปได้ไกลกว่าผลการทดลองขณะนั้น หรือสามารถพยากรณ์บางสิ่งบางอย่างได้ ผู้เรียนควรฝึกการคาดเดา บ่อยครั้งที่การลองแทนค่าด้วยคำตอบที่เป็นไปได้ลงในโจทย์แล้วทำย้อนกลับ จะช่วยให้พบค่าประมาณที่ใกล้เคียงกับคำตอบที่แท้จริงได้ กระบวนการตรวจสอบคำตอบนี้มีส่วนช่วยให้ผู้เรียนมีความเข้าใจที่ลึกซึ้ง (insights) ยุทธวิธี (strategies) และแนวทาง (approaches) จะเห็นได้ว่า การปลูกฝังจิตนิสัยทางคณิตศาสตร์ให้แก่ผู้เรียนไม่ใช่สิ่งที่จะสอนให้ตระหนักรู้ได้ในช่วงเวลาอันสั้นหรือสอนแบบแยกส่วนจากเนื้อหาแต่ละเรื่องได้ แต่จำเป็นต้องผ่านการฝึกฝนอย่างต่อเนื่องและยาวนานโดยสอดแทรกอยู่ในกระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์ของทุกเนื้อหาและทุกระดับชั้น จนผู้เรียนมีความแตกฉานในเนื้อหาพอที่จะสามารถเชื่อมโยงความรู้ได้เอง กล่าวสรุปง่าย ๆ คือ "ผู้เรียนต้องคิดจนติดเป็นนิสัย" การสอนจึงจะบรรลุผลได้อย่างแท้จริง